Calcul de l'incertitude de mesure : la méthode du GUM sur un exemple
Sur un certificat d'étalonnage de multimètre, chaque point mesuré porte une incertitude, suivie d'une mention du facteur k. Le certificat donne ce chiffre sans le calcul qui l'a produit, et la question vient vite : d'où sort-il ? Le calcul de l'incertitude de mesure suit une démarche publiée, celle du GUM, le guide du JCGM (Comité commun pour les guides en métrologie) pour l'expression de l'incertitude. Refaite sur un cas simple, elle montre ce que le chiffre contient et ce qu'il pèse dans une décision de conformité. L'exemple, un voltmètre numérique, est celui du GUM, et ses valeurs sont pédagogiques. Si vous utilisez l'instrument, vous n'avez pas à refaire ce calcul. Le certificat donne déjà U et k à chaque point, et c'est cette valeur que vous confrontez à votre tolérance, comme le montre la dernière section. Le calcul complet sert à qui bâtit son propre budget sur ses propres mesures.
À quoi sert un chiffre d'incertitude
Pour dire si une tension lue respecte une limite, il faut connaître l'étendue des valeurs qu'on peut raisonnablement attribuer à la tension, et c'est ce que l'incertitude chiffre. Le vocabulaire international de métrologie (VIM) en donne la définition.
« Paramètre non négatif qui caractérise la dispersion des valeurs attribuées à un mesurande, à partir des informations utilisées. »
Le mesurande est la grandeur mesurée, ici une tension. Les derniers mots comptent : l'incertitude dépend des informations dont dispose celui qui la calcule. Deux personnes qui mesurent la même tension avec des informations différentes obtiennent deux incertitudes différentes, toutes deux correctes. Pour comparer deux laboratoires, on compare donc au même point et au même k.
Les quatre étapes du calcul de l'incertitude de mesure
Pour une mesure courante, sans grandeurs corrélées, les huit points de l'article 8 du GUM se regroupent en quatre étapes.
| Étape | Ce que vous faites |
|---|---|
| 1. Modèle de mesure | Écrire la relation entre le résultat et les grandeurs dont il dépend, corrections comprises |
| 2. Grandeurs d'entrée | Estimer chaque grandeur et son incertitude-type, par la statistique (type A) ou autrement (type B) |
| 3. Incertitude composée | Combiner les incertitudes-types en une seule, notée uc |
| 4. Incertitude élargie | Multiplier uc par un facteur k et écrire le résultat avec U et k |
L'incertitude-type est l'incertitude exprimée sous la forme d'un écart-type (GUM, 2.3.1). La première étape décide du reste : une correction oubliée dans le modèle disparaît du calcul, et le chiffre final paraît meilleur qu'il n'est.
Type A et type B : ce qui change en pratique
L'évaluation de type A se fait « par l'analyse statistique de séries d'observations » (GUM, 2.3.2) : vous répétez la lecture et calculez l'écart-type de la moyenne. L'évaluation de type B se fait « par des moyens autres » (GUM, 2.3.3), à partir de ce qu'on sait de l'instrument. Le GUM cite parmi ces informations les spécifications du fabricant et les données fournies par des certificats d'étalonnage (4.3.1).
Une spécification de fabricant donne le plus souvent des limites, sans rien dire de la répartition des valeurs entre elles. Toute valeur entre ces limites compte alors autant qu'une autre ; le GUM nomme ce cas une loi rectangulaire. Pour une demi-largeur a, l'incertitude-type vaut a divisé par racine de 3 (4.3.7). La résolution d'un afficheur numérique se traite de la même façon, avec un pas d'affichage δx qui donne une incertitude-type de 0,29 δx (F.2.2.1).
Un exemple chiffré mené jusqu'au bout
Le GUM déroule cet exemple en 4.3.7 et en 5.1.5. Un voltmètre numérique sert, sur son calibre 1 V, à mesurer une tension. La notice annonce une exactitude de 14 × 10⁻⁶ fois la lecture plus 2 × 10⁻⁶ fois le calibre. Une série de lectures répétées donne une moyenne de 0,928 571 V et une incertitude-type de type A de 12 µV.
La part de type B vient de la notice. La demi-largeur vaut a = 14 × 10⁻⁶ × 0,928 571 V + 2 × 10⁻⁶ × 1 V, soit 15 µV. Avec une loi rectangulaire, l'incertitude-type vaut 15 µV divisés par racine de 3, soit 8,7 µV.
| Composante | Valeur |
|---|---|
| Répétabilité, type A | 12 µV |
| Exactitude de la notice, type B | 8,7 µV |
| Incertitude composée uc | racine de (12² + 8,7²) = 14,8 µV |
| Incertitude élargie U, k = 2 | 29,6 µV, arrondie à 30 µV |
| Résultat | 0,928 571 V ± 30 µV (k = 2) |
Le GUM écrit le modèle de l'exemple en une ligne (5.1.5) : V = V̄ + ΔV, la moyenne des lectures V̄ plus une correction ΔV de l'appareil, estimée nulle. Chaque grandeur y entre avec un coefficient de 1, et les deux composantes, indépendantes, s'additionnent donc en carrés. Le multiplicateur k = 2 est notre choix pour terminer l'exemple, et la section suivante dit ce qu'il signifie. La part de type A pèse ici plus lourd que la notice. Quand cette dispersion vient d'effets aléatoires, elle se réduit en multipliant les lectures (GUM, 3.2.2), puisque la variance de la moyenne diminue avec leur nombre (4.2.3).
De l'incertitude composée à l'incertitude élargie (k = 2)
L'incertitude composée est un écart-type, et un intervalle d'un écart-type autour du résultat laisse une part importante des valeurs possibles à l'extérieur. Le VIM définit l'incertitude élargie (entrée 2.35) comme le produit de l'incertitude-type composée et d'un facteur supérieur à 1, le facteur d'élargissement k.
Le GUM situe k « en général » entre 2 et 3, choisi selon le niveau de confiance voulu (6.3.1). Pour une loi normale et un grand nombre de degrés de liberté, k = 2 donne un intervalle de niveau de confiance de 95,45 % (annexe G).
Pourquoi deux laboratoires n'annoncent pas la même incertitude
Deux laboratoires qui étalonnent le même multimètre au même point n'ont ni les mêmes étalons, ni la même méthode, ni le même nombre de répétitions. Leurs budgets diffèrent ligne par ligne, et leurs incertitudes avec.
Un exemple lu dans notre propre portée le montre. Pour une tension continue de 2 V à 20 V, l'annexe technique publique inscrit une incertitude élargie de 1 × 10⁻⁵ fois la tension mesurée plus 0,4 mV, soit 0,5 mV à 10 V. L'annexe précise que ces valeurs sont les aptitudes du laboratoire, ses meilleures incertitudes, pour une probabilité de couverture de 95 %. L'incertitude portée sur votre certificat y ajoute ce que votre appareil apporte, sa résolution et la dispersion de ses lectures, et peut donc être plus grande.
Comparer deux offres sur l'incertitude
Pour comparer deux offres, comparez l'incertitude au point qui vous intéresse et vérifiez que le facteur k est le même. Avant de le faire, lisez la colonne des incertitudes de votre certificat : elle donne U point par point, avec le k employé.
Ce que l'incertitude change à votre décision
Prenons, à titre d'exemple, un multimètre étalonné à 10 V en tension continue, une procédure qui lui fixe une erreur maximale tolérée (EMT) de ± 2 mV à ce point, un écart mesuré de + 1,7 mV et une incertitude de 0,5 mV portée sur le certificat. Notre article sur l'erreur maximale tolérée détaille d'où vient cette limite.
Le guide ILAC-G8 sur les règles de décision décrit plusieurs façons de trancher. Avec l'acceptation simple, la limite est l'EMT elle-même, et le risque d'accepter à tort grandit à mesure que l'écart en approche, jusqu'à 50 % quand il tombe dessus. Avec une bande de garde égale à U, la limite descend à + 1,5 mV. D'autres règles calculent la bande de garde à partir d'un risque chiffré.
| Règle et limite d'acceptation | Verdict pour + 1,7 mV |
|---|---|
| Acceptation simple, limite ± 2 mV (l'EMT) | accepté |
| Bande de garde égale à U, limite ± 1,5 mV | refusé |
« It is therefore expected that the decision rule is agreed before the measurements are taken. »
Le même écart passe avec une règle et échoue avec l'autre. ILAC-G8 cite l'ISO/IEC 17025 sur ce point (7.1.3) : quand vous demandez une déclaration de conformité, la règle choisie vous est communiquée et se convient avec vous, sauf si la spécification demandée en fixe déjà une, et le rapport indique la règle appliquée (7.8.6.2). Elle se fixe donc au moment de votre demande ; les deux règles de l'exemple sont deux options parmi d'autres. L'incertitude du certificat est la donnée qui rend ce choix calculable. Si vos équipes doivent bâtir leurs propres budgets d'incertitude, notre formation aux fondamentaux de la métrologie traite les incertitudes de mesure et la décision de conformité.
Questions fréquentes
Que vaut l'incertitude quand toutes les lectures sont identiques ?
Elle ne vaut pas zéro. La même indication s'affiche pour toute une plage de signaux d'entrée, large d'un pas d'affichage δx, et le GUM en tire une incertitude-type de 0,29 δx (F.2.2.1). Pour un afficheur au millivolt, cela fait environ 0,3 mV.
Comment calculer l'incertitude de mesure d'un pied à coulisse ?
Avec les mêmes étapes : la répétabilité en type A, la résolution, et l'écart et l'incertitude du certificat ou l'exactitude de la notice en type B. Pour un pied à coulisse numérique au centième de millimètre, la seule résolution donne 0,29 × 0,01 mm, soit environ 0,003 mm.
Sur un certificat à plusieurs points, quelle incertitude retenir ?
Celle du point le plus proche de la valeur à laquelle vous utilisez l'appareil, avec le facteur k inscrit à côté. Une note du VIM (entrée 2.26, note 4) précise qu'une modification de la valeur attribuée au mesurande entraîne une modification de l'incertitude associée : la plus petite valeur du certificat ne vaut pas pour les autres points.